5自治医科大学 2016年 数学 第5問解答・解説

$u=\cos x$ とおくと $-1\leq u\leq1$ であり、二倍角の公式と $\sin^2x=1-\cos^2x$ によって $$\displaystyle y=4(2u^2-1-u)+7(1-u^2)+3u^2=4u^2-4u+3=4\left(u-\frac12\right)^2+2.$$ $\displaystyle u=\frac12$ は$-1\leq u\leq1$ の範囲で実現できるので、最小値は $m=2$ である。 最大値については $$y-11=4u^2-4u-8=4(u-2)(u+1)\leq0$$ である。ここで $u-2<0$、$u+1\geq0$ だから不等号が成り立つ。等号は $u=-1$ のときに成り立ち、これは $\cos x=-1$ として実現できる。よって最大値は $M=11$。したがって $$|M-m|=|11-2|=9.$$ 共通の選択肢で $9$ に対応する記号はワである。