21自治医科大学 2016年 数学 第21問解答・解説

分母 $x^2+2$ は常に正なので、極値をとる $x=-2,1$ では $f'(x)=0$ である。商の微分により $$\displaystyle f'(x)=\frac{(2ax+b)(x^2+2)-2x(ax^2+bx+c)}{(x^2+2)^2} =\frac{-bx^2+(4a-2c)x+2b}{(x^2+2)^2}.$$ 分子は $x=-2,1$ を根にもつ。もし $b=0$ なら分子は一次式以下であり、異なる二点で0となることから恒等的に0となるため、$f$ は定数となって二つの異なる極値をとれない。したがって $b\ne0$ であり、分子を因数分解して係数を比べると $$-bx^2+(4a-2c)x+2b=-b(x+2)(x-1), \qquad 4a-2c=-b,$$ よって $\displaystyle c=2a+\frac b2$ である。

また、与えられた極値の値から $$\displaystyle f(-2)=\frac{4a-2b+c}{6}=\frac12,qquad f(1)=\frac{a+b+c}{3}=2,$$ したがって $$4a-2b+c=3,qquad a+b+c=6.$$ これらを引くと $a-b=-1$、すなわち $b=a+1$ である。これと $\displaystyle c=2a+\frac b2$ を $a+b+c=6$ に代入すると $$\displaystyle a+(a+1)+2a+\frac{a+1}{2}=6, \qquad a=1.$$ したがって $b=2,\ c=3$ となり、 $$|a+b-c|=|1+2-3|=0.$$ 確認すると、このとき $$\displaystyle f'(x)=\frac{-2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}$$ であり、符号は $-2$ の前後で負から正、$1$ の前後で正から負へ変わる。指定どおり $-2$ で極小、1で極大となる。共通選択肢では0はアなので、答えは $\boxed{\text{ア}}$ である。