6信州大学 2020年 数学 第6問解答・解説

$\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x^2+1}$ の導関数は $\displaystyle f'(x)=\frac{5-(x+2)^2}{(x^2+1)^2}$ である。停留点は $x=-2\pm\sqrt5$ だが、$-2-\sqrt5<-3$ なので区間内に関係するのは $\beta=\sqrt5-2$ のみである。分母は常に正だから、$-3\le x\le\beta$ で増加し、$x\ge\beta$ で減少する。また $\displaystyle f(-3)=-\frac{1}{10}$、$\displaystyle f(\beta)=1+\frac{\sqrt5}{2}$。

$-3<a\le\beta$ なら最小値は $f(-3)$、最大値は $f(a)$ である。差が $\displaystyle \frac{11}{5}$ となる条件は $\displaystyle f(a)+\frac{1}{10}=\frac{11}{5}$、すなわち $\displaystyle f(a)=\frac{21}{10}$。これを解くと $21a^2-10a+1=0$、したがって $\displaystyle a=\frac17,\frac13$。

$\displaystyle \frac17<\beta<\frac13$ なので、この場合に入るのは $\displaystyle a=\frac17$ だけである。

$a\ge\beta$ なら最大値は $f(\beta)$、最小値は $f(-3)$ となる（$x\ge\beta$ では $f(x)>0$）。差は $\displaystyle 1+\frac{\sqrt5}{2}+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}+\frac{\sqrt5}{2}>\frac{11}{5}$ であり、条件を満たさない。よって求める値は $\displaystyle \boxed{a=\frac17}$ である。