4信州大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) 加法定理より、各 $k=1,2,\ldots,n$ について $$\sin((2k+1)\theta)-\sin((2k-1)\theta)=2\sin\theta\cos(2k\theta).$$ これらを加えると左辺は望遠和となり、$0<\theta<\pi$ なので $\sin\theta\ne0$。よって $$\displaystyle \bar a=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\cos(2k\theta) =\frac{\sin((2n+1)\theta)-\sin\theta}{2n\sin\theta} =\frac{\sin(2n\theta+\theta)-\sin\theta}{2n\sin\theta}.$$

(2) $n=10,\theta=\pi/20$ を代入して $$\displaystyle \bar a=\frac{\sin(21\pi/20)-\sin(\pi/20)}{20\sin(\pi/20)}=-\frac1{10}.$$ データは $a_k=\cos(k\pi/10)$ であり、$a_k^2=(1+\cos(k\pi/5))/2$。上の和の式を $n=10,\theta=\pi/10$ として使うと $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{10}\cos(k\pi/5) =\frac{\sin(21\pi/10)-\sin(\pi/10)}{2\sin(\pi/10)}=0.$$ したがって二乗平均は $$\displaystyle \frac1{10}\sum\limits _{k=1}^{10}a_k^2 =\frac1{20}\left(10+\sum\limits _{k=1}^{10}\cos(k\pi/5)\right)=\frac12.$$ 分散と標準偏差は $$\displaystyle s^2=\frac12-\left(-\frac1{10}\right)^2=\frac{49}{100},\qquad s=\frac7{10},$$ ここでは標準偏差が非負であることから正の平方根を取る。

正弦の差の公式を用いて余弦和を望遠和にし、平均の式を得る。指定値では平均 $\displaystyle -\frac1{10}$、二乗平均 $\displaystyle \frac12$ なので、標準偏差は $\displaystyle \sqrt{\frac12-\frac1{100}}=\frac7{10}$。