5信州大学 2020年 数学 第5問解答・解説

PDF p1医学科指定3,4,5,6,7に本問5を含む。p12のf,gと上半円の条件を確認。

(1) $t=x^2$とおく。円との共有点では $$t+\{(1-\sqrt2)t+3\sqrt2-2\}^2-4=(3-2\sqrt2)(t-2)(t-3)=0.$$ よって共有点は$(\pm\sqrt2,\sqrt2),(\pm\sqrt3,1)$。 (2) $C_1$を$y=q(x)=\alpha x^2+\beta x-2$と書く。ただし$\alpha=1-\sqrt2+\sqrt3>0$、$\beta=\sqrt6-3$。上半円を$h(x)=\sqrt{4-x^2}$とする。$q-h$の二階導関数は正なので狭義凸であり、零点は高々2個である（3個あれば真中の零点が両端を結ぶ弦より下になることと矛盾）。 実際に代入すると$q(-\sqrt2)=h(-\sqrt2)=\sqrt2$、$q(\sqrt3)=h(\sqrt3)=1$。両交点の間では$q<h$である。 円弧の下の面積は、$x=2\sin u$と置いて $$\displaystyle \int_{-\sqrt2}^{\sqrt3}\sqrt{4-x^2}\,dx=\int_{-\pi/4}^{\pi/3}4\cos^2u\,du=[2u+\sin2u]_{-\pi/4}^{\pi/3}=1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{7\pi}{6}.$$ 一方、 $$\displaystyle \int_{-\sqrt2}^{\sqrt3}q(x)\,dx=\frac\alpha3(3\sqrt3+2\sqrt2)+\frac\beta2-2(\sqrt3+\sqrt2)=\frac16-\sqrt3-\frac{4\sqrt2}{3}+\frac{\sqrt6}{6}.$$ 差を取って、求める面積は $$\displaystyle \boxed{\frac{5+9\sqrt3+8\sqrt2-\sqrt6+7\pi}{6}}.$$