7信州大学 2020年 数学 第7問解答・解説

共通の中心を$O$、描く小円の半径を$\rho$、その中心を$P$とする。二つの接する条件から $$OP+\rho=1,\qquad OP-\rho=r.$$ よって$\rho=(1-r)/2$、$OP=R=(1+r)/2$である。従って全ての小円は同じ大きさで、その中心は半径$R$の円周上にある。 同じ半径の異なる2円は、一方が他方を含むことがないため、共有点が1個以下である条件は中心間距離が$2\rho$以上であることと同値である。 $0<\alpha<\pi/2$を $$\displaystyle \sin\alpha=\frac{\rho}{R}=\frac{1-r}{1+r}$$ で定める。中心を円周に沿って並べたとき、隣り合う中心がつくる中心角を$\theta$とすると、弦の長さは$2R\sin(\theta/2)$である。これが$2\rho$以上なら$\theta\ge2\alpha$である。小円を$N$個描けたとすれば全ての隣接角の和は$2\pi$なので $$\displaystyle 2N\alpha\le2\pi,\qquad N\le\frac\pi\alpha.$$ 逆に$N=\lfloor\pi/\alpha\rfloor$個の中心を等間隔に置けばよい。$\alpha<\pi/2$より$N\ge2$であり、最短の中心間距離は$2R\sin(\pi/N)\ge2R\sin\alpha=2\rho$だから全ての小円は条件を満たす。 従って最大個数は$N=\lfloor\pi/\alpha\rfloor$で、円周の総和は$f(r)=\pi(1-r)N$。 床関数の不等式より $$\displaystyle \pi(1-r)\left(\frac\pi\alpha-1\right)<f(r)\le\pi^2\frac{1-r}{\alpha}.$$ $r\to1-$では$\alpha\to0+$であり、 $$\displaystyle \frac{1-r}{\alpha}=(1+r)\frac{\sin\alpha}{\alpha}\longrightarrow2.$$ 両端はともに$2\pi^2$へ収束するので、はさみうちにより $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{r\to1-}f(r)=2\pi^2}.$$