III東北医科薬科大学 2022年 数学 第III問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned}R=OP&=\frac{AB}{2\sin60^\circ}=2,\\A&=(-\sqrt3,-1),\quad B=(\sqrt3,-1),\\C&=(\sqrt3,2\sqrt3-1),\quad D=(-\sqrt3,2\sqrt3-1).\end{aligned}$$

(2)　 $P=(0,2),\quad PC^2=24-12\sqrt3=(3\sqrt2-\sqrt6)^2$.

(3)　 $\displaystyle h=2\sqrt3-1,\quad K=20-4\sqrt3,\quad g(y)=\frac{\sqrt{4-y^2}}{K-2hy}$ $\displaystyle g^{\prime}(y)=0\text{すなわち }y=\frac{8h}{K}=\frac{9\sqrt3+1}{11}$ $\displaystyle P_1P_1'=y+1=\frac{9\sqrt{3}+12}{11}$.

Pは原点中心の一定半径の円上を連続して動き、同じ弦ABを見込む角が60°なのでA,Bもこの円上にあり、中心角の小さい方は120°。$AB=2\sqrt3=2R\sin60^\circ$から$R=OP=2$。$\ell$は弦ABから中心まで距離$\sqrt{R^2-(AB/2)^2}=1$の水平線で、C,Dが上側にある配置から$\ell:y=-1$。Aのx座標が負なので$A=(-\sqrt3,-1)$、$B=(\sqrt3,-1)$。正方形の高さは$2\sqrt3$で、$C=(\sqrt3,2\sqrt3-1)$, $D=(-\sqrt3,2\sqrt3-1)$。 (2) $PC=PD$となる点はCDの垂直二等分線$x=0$と円$x^2+y^2=4$の交点のうち$y>-1$を満たす$P=(0,2)$。$PC^2=3+(2\sqrt3-3)^2=24-12\sqrt3=(3\sqrt2-\sqrt6)^2$。 (3) $s=\sqrt3,\quad h=2\sqrt3-1,\quad K=4+s^2+h^2=20-4\sqrt3$とおく。$P=(x,y),\quad x^2+y^2=4$。比が1未満となるのは$x<0$側。$x=-\sqrt{4-y^2}$として、比の二乗は$\displaystyle \frac{K-2s\sqrt{4-y^2}-2hy}{K+2s\sqrt{4-y^2}-2hy}$。これは$\displaystyle g(y)=\frac{\sqrt{4-y^2}}{K-2hy}$を最大化すれば最小となり、$-1<y\le2$で$g^{\prime}(y)=0$は$\displaystyle y=\frac{8h}{K}=\frac{9\sqrt3+1}{11}$。符号変化からこれが唯一の最大点。ℓは$y=-1$なので垂直距離は$\displaystyle y+1=\frac{9\sqrt3+12}{11}$。