8秋田大学 2020年 数学 第8問解答・解説

隣り合う点の動径の長さは1と$\displaystyle R_n=1+\frac1n$であり, 原点をはさむ角は$\displaystyle \theta_n=\frac\pi n$である。したがってすべての辺の長さは等しく, 余弦定理より$$\displaystyle d_n^2=1+R_n^2-2R_n\cos\theta_n=\frac1{n^2}+2\left(1+\frac1n\right)(1-\cos\theta_n).$$ また, 各三角形$OP_iP_{i+1}$の面積は$\displaystyle \frac12 R_n\sin\theta_n$である。

(i) $n=2$では$\displaystyle R_2=\frac32$, $\displaystyle \theta_2=\frac\pi2$。よって$$\displaystyle d_2=\sqrt{1+\left(\frac32\right)^2}=\frac{\sqrt{13}}2,\qquad L_2=4d_2=2\sqrt{13}.$$ 4個の三角形の面積の和は$$\displaystyle S_2=4\cdot\frac12\cdot1\cdot\frac32\cdot\sin\frac\pi2=3.$$

(ii) 2n個の三角形$OP_iP_{i+1}$は多角形を分割し, 各隣接動径の積は$R_n$なので$$\displaystyle S_n=2n\cdot\frac12R_n\sin\frac\pi n=(n+1)\sin\frac\pi n.$$ よって$$\displaystyle S_n=\pi\left(1+\frac1n\right)\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}\longrightarrow\pi.$$

(iii) 周長は$$\displaystyle L_n=2n d_n=2\sqrt{1+2n^2\left(1+\frac1n\right)(1-\cos(\pi/n))}.$$ 恒等式$1-\cos u=2\sin^2(u/2)$と$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$から$$\displaystyle 2n^2\left(1+\frac1n\right)(1-\cos(\pi/n))=4\left(1+\frac1n\right)\left(n\sin\frac{\pi}{2n}\right)^2\longrightarrow\pi^2.$$ したがって$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}L_n=2\sqrt{1+\pi^2}.$$