和歌山県立医科大学 2016年数学第2問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

和歌山県立医科大学2016年度第2問

$t$ を実数とし， $a=t^{3}+2(2+\sqrt{6})t^{2}+3(1+2\sqrt{6})t+2(2+\sqrt{6})$ とする。点 $(2,-2)$ を通り，傾き $a$ の直線を $\ell$ とする。 $\ell$ と放物線 $y=x^{2}$ が交わらない $t$ の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解
(L_-, -1-2sqrt(6)) union (-3,L_+) union (-1,0)
L₋
(-(3+2sqrt(6))-sqrt(33-4sqrt(6)))/2
L₊
(-(3+2sqrt(6))+sqrt(33-4sqrt(6)))/2

3解答

解答を見る途中式つきの解答

点 $(2,-2)$ を通る傾き $a$ の直線は $y=ax-2a-2$ です。放物線との交点の $x$ 座標は $x^2-ax+2a+2=0$ の実数解なので、交わらない条件は判別式 $a^2-8a-8$ が負、つまり $4-2\sqrt6<a<4+2\sqrt6$ です。

下側境界との差は $(t+1)(t^2+(3+2\sqrt6)t+4\sqrt6)$ 、上側境界との差は $t(t+3)(t+1+2\sqrt6)$ と因数分解できます。下側二次式の根を $L_-,L_+$ とすると、順序は $L_-<-1-2\sqrt6<-3<L_+<-1<0$ です。2つの不等式の解を交差させると、答えは $L_-<t<-1-2\sqrt6\ \text{または}\ -3<t<L_+\ \text{または}\ -1<t<0$ となります。境界では接するため含みません。

この問題で使う考え方

判別式
因数分解
数直線上の符号調査
区間の共通部分

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。