1福島県立医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

以下の各問いに答えよ。 　 (1) $a=\sqrt{2-\sqrt{3}},\ b=\sqrt{2+\sqrt{3}}$ について，$b^{7}-a^{7}=c\sqrt{d}$ となる2以上の整数 $c,d$ を求めよ。 　 (2) 自然数 $n$ について，$3^{n}$ を5で割ったときの余りを $r_n$ とする。すべての自然数 $n$ について，等式 $r_{n+m}=r_n$ を満たす最小の自然数 $m$ を求めよ。また，$2023^{2023}$ を5で割ったときの余りを求めよ。 　 (3) 右表は，100人の生徒を2つのクラスX，Yに分けて行った試験の結果である。100人全員の点数についての平均点が60点，分散が87であるとき，Xクラスの平均点 $\bar{x}$ の値を求めよ。ただし，$\bar{x}<\bar{y}$ である。 $$\begin{array}{c|c|c|c} \text{クラス}&\text{人数}&\text{平均点}&\text{分散}\\\hline X&60&\bar{x}&83\\ Y&40&\bar{y}&78 \end{array}$$ 　 (4) 関数 $f(x)=e^{\sqrt{3}x}\cos 3x$ の第50次導関数を $f^{(50)}(x)$ とする。三角関数の合成を考えることにより，方程式 $f^{(50)}(x)=0$ の $0\leq x\leq2\pi$ における解をすべて求めよ。