4福島県立医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) 定義域はx≦2。x<2でf'(x)=(1−3x)/(2√(2−x))、f''(x)=(3x−11)/(4(2−x)^(3/2))。分母は正で3x−11<0だから、x<1/3でf'>0、1/3<x<2でf'<0。x=1/3で極大値f(1/3)=10√15/9。端点x=2は定義域内から見て片側極小値0だが、x→−∞でf(x)→−∞のため全体の最小値はない。f''<0は全域内部で成り立つのでグラフは上に凸、変曲点なし。零点(-3,0),(2,0)、y切片(0,3√2)、極大点(1/3,10√15/9)、端点で左から傾きが−∞になる点を示す概形図を添付。

(2) −3≦x≦2ではf(x)≧0。u=2−xと置くとS=∫₀⁵(5−u)√u du=[(10/3)u^(3/2)−(2/5)u^(5/2)]₀⁵=20√5/3。

(3) f(x)とf(−x)の共通定義域は−2≦x≦2で、この区間では両辺は非負だから平方は同値。 (x+3)²(2−x)=(3−x)²(2+x)を整理すると−2x(x²−3)=0。3解とも共通定義域にあるためx=−√3,0,√3。

(4) 回転体を半径rの円筒殻に分ける。0<r≦2では左右のx=±rからの殻が同じ半径に重なり、どちらもy=0から始まるので高さはf(r),f(−r)の大きい方となる。 f(−r)²−f(r)²=2r(r²−3)より、0<r<√3ではf(r)が大きく、√3<r≦2ではf(−r)が大きい。2<r≦3は左側だけなので $\displaystyle V=2\pi\left\{\int_0^{\sqrt3}r(r+3)\sqrt{2-r}\,dr+\int_{\sqrt3}^{3}r(3-r)\sqrt{2+r}\,dr\right\}$。各積分をu=2−r、u=2+rで置換し、$\displaystyle F(u)=\frac{20}{3}u^{3/2}-\frac{14}{5}u^{5/2}+\frac27u^{7/2}$とすると和はF(2)−F(2−√3)+F(2+√3)−F(5)。$\displaystyle F(2)=\frac{464\sqrt2}{105}$、$\displaystyle F(5)=-\frac{20\sqrt5}{21}$、$\displaystyle \sqrt{2\pm\sqrt3}=\frac{\sqrt6\pm\sqrt2}{2}$を使うと$\displaystyle F(2+\sqrt3)-F(2-\sqrt3)=\frac{44\sqrt2}{105}$。よって殻積分の和は$\displaystyle \frac{508\sqrt2+100\sqrt5}{105}$、体積は$\displaystyle \frac{8\pi(127\sqrt2+25\sqrt5)}{105}$。