2福島県立医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) $\alpha+\beta=b,\ \alpha\beta=a$ より、$\alpha,\beta$ は二次方程式 $$t^2-bt+a=0$$ の解である。したがって $$\displaystyle \alpha=\frac{b+\sqrt{b^2-4a}}{2},\qquad \beta=\frac{b-\sqrt{b^2-4a}}{2}$$ と表せる（$\alpha,\beta$ の割当ては任意）。

(2) 展開すると $$(x^2-bx+a)(ax^2-bx+1)=ax^4-(a+1)bx^3+(a^2+b^2+1)x^2-(a+1)bx+a=f(x)$$ である。(1)より $\alpha,\beta$ は $x^2-bx+a=0$ の解だから、 $$f(\alpha)=f(\beta)=0.$$

(3) $z\ne0$ なので、因数分解を用いて $$\displaystyle f\!\left(\frac1z\right)=\left(\frac{1}{z^2}-\frac bz+a\right)\left(\frac a{z^2}-\frac bz+1\right)=\frac{(az^2-bz+1)(z^2-bz+a)}{z^4}=\frac{f(z)}{z^4}=0.$$ よって求める値は $0$ である。

(4) $a=0$ のとき、$f(x)=-bx^3+(b^2+1)x^2-bx$ は4次式ではなく、4つの異なる実数解をもたない。以下 $a\ne0$ とする。 $$P(x)=x^2-bx+a,\qquad Q(x)=ax^2-bx+1$$ とおくと $f(x)=P(x)Q(x)$ であり、両二次方程式の判別式はともに $b^2-4a$ である。したがって、それぞれが異なる2つの実数解をもつための条件は $$b^2-4a>0$$ である。

さらに、両者に共通解がないことが必要である。$P(r)=0$ とすると $r^2=br-a$ だから $$Q(r)=ar^2-br+1=(a-1)(br-a-1).$$ 従って、$a=1$ なら $P=Q$ となり共通解をもち、$a\ne1$ のときは共通解があることと $br=a+1$ を満たす $P$ の解があることが同値である。$b\ne0$ なら候補 $r=(a+1)/b$ を $P(r)$ に代入すると $$\displaystyle P\!\left(\frac{a+1}{b}\right)=\frac{(a+1)^2-b^2}{b^2},$$ ゆえに共通解がある条件は $b^2=(a+1)^2$ である。$b=0$ の場合にも、$a\ne1$ のもとで共通解があるのは $a=-1$ のときであり、これは同じ条件 $b^2=(a+1)^2$ に当たる。

以上より、4つの異なる実数解をもつための必要十分条件は $$a\ne0,\qquad a\ne1,\qquad b^2-4a>0,\qquad b^2\ne(a+1)^2$$ である。