九州大学 2023年数学第1問解答・解説

いろいろな式平面上の曲線と複素数平面

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1問題

九州大学2023年度第1問

以下の問いに答えよ。

(1) 4次方程式 $x^4-2x^3+3x^2-2x+1=0$ を解け。

(2) 複素数平面上の $\triangle ABC$ の頂点を表す複素数をそれぞれ $\alpha,\beta,\gamma$ とする。 $\left(\alpha-\beta\right)^4+\left(\beta-\gamma\right)^4+\left(\gamma-\alpha\right)^4=0$ が成り立つとき， $\triangle ABC$ はどのような三角形になるか答えよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) 実数範囲では解なし。複素数範囲では左辺は $(x^2-x+1)^2$ と因数分解できる。従って $\displaystyle x=\frac{1+i\sqrt3}{2},\quad\frac{1-i\sqrt3}{2}$ で、いずれも重解である。

(2) 三角形の頂点は異なるため $\beta-\alpha\ne0$ 。 $z=(\gamma-\alpha)/(\beta-\alpha)$ とおく。与式を $(\beta-\alpha)^4$ で割ると $1+(1-z)^4+z^4=2(z^2-z+1)^2=0.$ したがって(1)から $z=(1\pm i\sqrt3)/2$ 。いずれも $|z|=|z-1|=1$ であるから、 $AC/AB=BC/AB=1$ 。従って三辺が等しい正三角形である。逆に正三角形ならこの二つの $z$ のどちらかになるので、確かに与式を満たす。

検算： $(x^2-x+1)^2=x^4-2x^3+3x^2-2x+1$ と展開でき、 $z=1/2\pm i\sqrt3/2$ はいずれも $z^2-z+1=0$ を満たす。

この問題で使う考え方

平方完成形の因数分解
辺差と余弦定理に代わる複素差の対称式整理

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