5九州大学 2023年 数学 第5問解答・解説

曲線を $x=t+2\sin^2t$, $y=t+\sin t$ とおくと、$x'=1+2\sin2t$, $y'=1+\cos t>0$。$x'=0$ は $\sin2t=-1/2$ より $t=7\pi/12,11\pi/12$ の2点であり、垂直接線は2本。

$x-y=\sin t(2\sin t-1)$ なので、$y\le x$ に対応する範囲は $\pi/6\le t\le5\pi/6$。また $y'>0$ より面積は $$\displaystyle S=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}(x-y)y'\,dt=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin t(2\sin t-1)(1+\cos t)\,dt=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}.$$

微分で垂直接線条件を調べ、tが大きくなるとyの値も必ず大きくなることから交点重複がないことを確認。面積はyを縦軸の積分変数とする媒介変数積分に直した。