3九州大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$D=ad-bc$ とおく。

(1) $D=0$ と仮定する。$\vec n=(b,d)\ne\vec0$ なので $\vec q=(d,-b)\ne\vec0$。$r\vec m+s\vec n=\vec q$ の成分式から消去すると $$Dr=dx-by.$$ この $\vec q$ では右辺が $d^2+b^2>0$ となり、$D=0$ と矛盾する。よって条件Iがすべての $\vec q$ で成り立つなら $D\ne0$。

(2) $\vec v=(v_1,v_2)$ とすると、条件は $$av_1+cv_2=1,\qquad bv_1+dv_2=0.$$ 消去して $Dv_1=d,\ Dv_2=-b$ を得る。同様に $\vec w$ について解くと $$\boxed{\vec v=(d/D,-b/D),\qquad \vec w=(-c/D,a/D)}.$$

(3) $D\ne0$ のとき、$\vec q=(x,y)$ を表す係数は一意に $$\displaystyle r=\frac{dx-by}{D},\qquad s=\frac{ay-cx}{D}.$$ 条件IIがすべての整数成分 $(x,y)$ で成り立つ。特に $(1,0)$ と $(0,1)$ を代入すると、$D$ は $a,b,c,d$ のすべてを割る。そこで $a=Da', b=Db', c=Dc', d=Dd'$ とおけば $$D=ad-bc=D^2(a'd'-b'c'),$$ ゆえに $1=D(a'd'-b'c')$ で、$D=\pm1$。逆に $D=\pm1$ なら上の $r,s$ は任意の整数 $x,y$ に対して整数である。$D=1$ は $\vec m=(1,0),\vec n=(0,1)$、$D=-1$ はその順序を逆にした例で実現する。したがって $$\boxed{D=1\ \text{または}\ D=-1}.$$