4九州大学 2023年 数学 第4問解答・解説

以下の文章を読んで後の問いに答えよ。 　 三角関数 $\cos x,\sin x$ については加法定理が成立するが，逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数 $f(x),g(x)$ が以下の条件を満たすとする。 　 (A) すべての $x,y$ について $f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)$。 　 (B) すべての $x,y$ について $g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)$。 　 (C) $f(0)\neq0$。 　 (D) $f(x),g(x)$ は $x=0$ で微分可能で $f'(0)=0,\ g'(0)=1$。 　 条件(A),(B),(C)から $f(0)=1,\ g(0)=0$ がわかる。以上のことから $f(x),$〔下線部①〕$g(x)$ はすべての $x$ の値で微分可能で，$f'(x)=-g(x),\ g'(x)=f(x)$ が成立する〔下線部②〕ことが示される。上のことから $\{f(x)+ig(x)\}(\cos x-i\sin x)=1$ であることが〔下線部③〕，実部と虚部を調べることによりわかる。ただし $i$ は虚数単位である。よって条件(A),(B),(C),(D)を満たす関数は三角関数 $f(x)=\cos x,\ g(x)=\sin x$ であることが示される。 　 さらに，$a,b$ を実数で $b\neq0$ とする。このとき条件(D)をより一般的な次の条件におきかえて，条件(A),(B),(C),(D')を満たす $f(x),g(x)$ はどのような関数になるか考えてみる。 　 (D') $f(x),g(x)$ は $x=0$ で微分可能で $f'(0)=a,\ g'(0)=b$。 　 この場合でも，条件(A),(B),(C)から $f(0)=1,\ g(0)=0$ が上と同様にわかる。ここで$$\displaystyle p(x)=e^{-\frac{a}{b}x}f\left(\frac{x}{b}\right),\quad q(x)=e^{-\frac{a}{b}x}g\left(\frac{x}{b}\right)$$とおくと，条件(A),(B),(C),(D)において，$f(x)$ を $p(x)$ に，$g(x)$ を $q(x)$ におきかえた条件が満たされる〔下線部④〕。すると前半の議論により，$p(x),q(x)$ がまず求まり，このことを用いると $f(x)=\boxed{\text{ア}},\ g(x)=\boxed{\text{イ}}$ が得られる。

(1) 下線部①について，$f(0)=1,\ g(0)=0$ となることを示せ。

(2) 下線部②について，$f(x)$ がすべての $x$ の値で微分可能な関数であり，$f'(x)=-g(x)$ となることを示せ。

(3) 下線部③について，下線部①，下線部②の事実を用いることにより，$\{f(x)+ig(x)\}(\cos x-i\sin x)=1$ となることを示せ。

(4) 下線部④について，条件(B),(D)において，$f(x)$ を $p(x)$ に，$g(x)$ を $q(x)$ におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり $p(x)$ と $q(x)$ が，(B) すべての $x,y$ について $q(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y)$，(D) $p(x),q(x)$ は $x=0$ で微分可能で $p'(0)=0,\ q'(0)=1$ を満たすことを示せ。また空欄ア，イに入る関数を求めよ。