3熊本大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とし、$A=(0,a)$、$a<0$ とおく。距離条件から $$c^2+(s-a)^2=4,\qquad c^2+s^2=1$$ なので、$a^2-2sa-3=0$。負の解を選ぶと $$a=s-\sqrt{s^2+3}.$$ また $$\overrightarrow{AP}=(c,\sqrt{s^2+3}),\qquad Q=A+4\overrightarrow{AP}=(4c,\ s+3\sqrt{s^2+3}).$$ 従って問1は $$Q=(4\cos\theta,\ \sin\theta+3\sqrt{\sin^2\theta+3}).$$

問2では $x=4c$ より $0\leq x\leq4$。$y=f(s)=s+3\sqrt{s^2+3}$ とおくと $$\displaystyle f'(s)=1+\frac{3s}{\sqrt{s^2+3}}.$$ 臨界点は $\sqrt{s^2+3}=-3s$ を解いて $s=-\sqrt6/4$。導関数はこの値の左で負、右で正だからここで最小となる。端点と臨界点の値は $$f(-1)=5,\quad f(1)=7,\quad f(-\sqrt6/4)=2\sqrt6.$$ よってyの最小値は $2\sqrt6$、最大値は $7$。

問3では$0\le x\le4$ を満たす各 $x$ に対する二つの枝のy座標の差は $$\displaystyle 2\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}=\frac12\sqrt{16-x^2}.$$ 従って面積は $$\displaystyle \int_0^4\frac12\sqrt{16-x^2}\,dx =\frac12\cdot\frac{\pi\cdot4^2}{4}=2\pi.$$

距離方程式の負の解をAの位置条件で選択。Qの縦座標はsinθの関数として臨界点と両端を比較。面積の枝間距離を積分し、四分円面積の半分として評価した。