1熊本大学 2023年 数学 第1問解答・解説

サイコロの出た目の積が$60=2^2\cdot3\cdot5$となるには、出た目の中に$5$がちょうど1個含まれる。　 残る$n-1$個の目の積は$12$である。　 $1,2,3,4,6$のうち積が$12$となる1以外の目の組は、$(2,6)$、$(3,4)$、$(2,2,3)$に限られる。

$n-1=m$個の位置のうち、前二つの組を置く方法はそれぞれ$m(m-1)$通りである。　 最後の組では$3$を置く位置を$m$通りに選び、残りから$2$を置く2位置を選ぶので$\displaystyle m\binom{m-1}{2}$通りである。　 したがって、$n$個の目の積が$60$となる列の総数を$F_n$とすると、$n$の位置から$5$を置く位置を選んで$$\displaystyle \begin{aligned}F_n&=n\left(2(n-1)(n-2)+(n-1)\binom{n-2}{2}\right)\\ &=\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{2}\qquad(n\ge3).\end{aligned}$$ (問1) $F_3=12$より、$$\displaystyle p_3=\frac{F_3}{6^3}=\frac{12}{216}=\frac{1}{18}.$$ (問2) $n\ge4$でも、全列数は$6^n$通りだから、$$\displaystyle p_n=\frac{F_n}{6^n}=\frac{n(n-1)(n-2)(n+1)}{2\cdot6^n}.$$ (問3) 積が最終的に$60$となる列で、途中の回にすでに積が$60$になっていれば、その後の目はすべて$1$であり、特に第$n$回の目は$1$である。　 逆に、第$n$回の目が$1$なら、第$n-1$回までの積が$60$である。　 よって、第$n$回にはじめて積が$60$となる列数は、全列数$F_n$から第$n$回の目が$1$である列数$F_{n-1}$を引いた$$\displaystyle F_n-F_{n-1}=\frac{n(n-1)(n-2)}{2}\bigl((n+1)-(n-3)\bigr)=2n(n-1)(n-2)$$である。　 したがって求める確率は$$\displaystyle \frac{F_n-F_{n-1}}{6^n}=\frac{2n(n-1)(n-2)}{6^n}.$$