6東京大学 2026年 数学 第6問解答・解説

(1) $2800=2^4\cdot5^2\cdot7$ であり、$2\equiv5\equiv-1,\ 7\equiv1\pmod3$ である。約数 $d=2^a5^b7^c$（$0\le a\le4,\ 0\le b\le2,\ 0\le c\le1$）の剰余は $(-1)^{a+b}$ となる。$a$ の偶数・奇数の選び方はそれぞれ $3,2$ 通り、$b$ はそれぞれ $2,1$ 通りなので、 $$\begin{aligned} a+b\text{ が偶数となる組数}&=3\cdot2+2\cdot1=8,\\ a+b\text{ が奇数となる組数}&=3\cdot1+2\cdot2=7. \end{aligned}$$ $c$ は2通り独立に選べるから、$f(2800)=2\cdot8=16,\ g(2800)=2\cdot7=14$。

(2) $n=3^eN$（$3\nmid N$）とし、 $$\displaystyle N=\prod\limits _{i=1}^{r}p_i^{a_i}\prod\limits _{j=1}^{s}q_j^{b_j}, \qquad p_i\equiv1,\quad q_j\equiv2\pmod3$$ と素因数分解する。3の正の倍数である約数は $f,g$ のどちらにも数えられないので、$f(n),g(n)$ は $N$ の約数だけから決まる。約数 $\displaystyle d=\prod p_i^{u_i}\prod q_j^{v_j}$ に、剰余が1なら $+1$、2なら $-1$ の符号を対応させると、その符号は $\displaystyle \varepsilon(d)=(-1)^{\sum\limits _j v_j}$ である。したがって $$\displaystyle f(n)-g(n) =\sum\limits _{d\mid N}\varepsilon(d) =\prod\limits _{i=1}^{r}(a_i+1)\prod\limits _{j=1}^{s}\left(\sum\limits _{v=0}^{b_j}(-1)^v\right)\ge0.$$ 各括弧内は $b_j$ が偶数なら $1$、奇数なら $0$ である。よって $f(n)\ge g(n)$。

(3) $\displaystyle A=\prod\limits _i(a_i+1),\ C=\prod\limits _j(b_j+1)$ とおくと、$f(n)+g(n)=AC$ である。(2)より、いずれかの $b_j$ が奇数なら $f(n)-g(n)=0$ なので、$g(n)=15$ の場合 $f(n)=15$ となる。すべての $b_j$ が偶数なら $C$ は奇数で、$f(n)-g(n)=A$ である。この場合 $$\displaystyle g(n)=\frac{AC-A}{2}=\frac{A(C-1)}2=15$$ より $A(C-1)=30$。$C-1$ は正の偶数で30の約数だから、$C-1=2,6,10,30$、すなわち $(C,A)=(3,15),(7,5),(11,3),(31,1)$ である。従ってこの場合 $f(n)=g(n)+A$ は $30,20,18,16$ となり、以下の $n$ でそれぞれ実現する。 $$\begin{array}{c|c|c} (A,C)&n&f(n)\\ \hline (15,3)&2^2\cdot7^2\cdot13^4&30\\ (5,7)&2^6\cdot13^4&20\\ (3,11)&2^{10}\cdot7^2&18\\ (1,31)&2^{30}&16 \end{array}$$ また $f(n)=15$ は $n=2\cdot7^2\cdot13^4$（このとき $A=15,C=2$）で実現する。以上より、求める値は $\{15,16,18,20,30\}$。

約数を素因数の指数で表し、3で割った余りを指数和の偶奇で数える。個数の差は交代和の積となるため非負で、g=15の場合は30の約数を調べて全候補と実現例を示す。