2東京大学 2026年 数学 第2問解答・解説

格子点を $(x,y)$（$x=1,2,3$、$1\leq y\leq n$）とする。全三点組は $\displaystyle \binom{3n}{3}$ 個である。

三点が一直線上にある場合を数える。縦の直線上にある三点組は、列を選び、その列の $n$ 点から三点を選ぶので $\displaystyle 3\binom{n}{3}$ 個。縦でない直線上の三点組では、各列に一点ずつある。各列の高さを $y_1,y_2,y_3$ とすると、列の間隔が等しいため、一直線上にある条件は $y_2-y_1=y_3-y_2$、すなわち $2y_2=y_1+y_3$ である。したがって $y_1,y_3$ は同じ偶奇であり、そのような端の高さの組ごとに中間の高さ $y_2$ が一意に定まる。平均は $1$ 以上 $n$ 以下だから、縦でない場合の個数は $\lceil n/2\rceil^2+\lfloor n/2\rfloor^2$。

よって一直線上の三点組の総数は $\displaystyle 3\binom{n}{3}+\lceil n/2\rceil^2+\lfloor n/2\rfloor^2$ である。

$n=5$ では全三点組が $\displaystyle \binom{15}{3}=455$ 個、一直線上の三点組が $\displaystyle 3\binom{5}{3}+3^2+2^2=43$ 個なので、$p_5=(455-43)/455=412/455$。

$n=2m$（$m\geq2$）では全三点組が $\displaystyle \binom{6m}{3}=2m(3m-1)(6m-1)$ 個、一直線上の三点組が $\displaystyle 3\binom{2m}{3}+2m^2=2m(2m-1)(m-1)+2m^2$ 個である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} p_{2m}&=1-\frac{2m(2m-1)(m-1)+2m^2}{2m(3m-1)(6m-1)}\\ &=\frac{m(16m-7)}{(3m-1)(6m-1)}. \end{aligned}$$