1東京大学 2026年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle f(\theta)=\sin\theta-\theta+\frac{\theta^3}{6}$ とおく。$\displaystyle |u|\le\frac{1}{2}$ では $\displaystyle |\sin u|\le|u|$ だから $$\displaystyle 1-\cos\theta=2\sin^2(\frac{\theta}{2})\le\frac{\theta^2}{2}.$$ 従って $\displaystyle f'(\theta)=\cos\theta-1+\frac{\theta^2}{2}\ge0$、等号は $\displaystyle \theta=0$ のみである。よってfは $\displaystyle -1\le\theta\le1$ の範囲で増加し、端点値から $$\displaystyle M=f(1)=\sin1-\frac56,\qquad m=f(-1)=\frac56-\sin1=-M.$$

加法定理と合成関数の微分から $$\displaystyle \sin(\cos x-x)=\cos x\sin(\cos x)+\frac{d}{dx}\sin(\cos x).$$ 導関数の項は0から$\displaystyle 2\pi$まで積分すると0である。$\displaystyle f(t)=\sin t-t+\frac{t^3}{6}$ を使うと $$\displaystyle I=\int_0^{2\pi}\left(\cos^2x-\frac{\cos^4x}{6}\right)dx+\int_0^{2\pi}\cos x f(\cos x)dx =\frac78\pi+R,$$ ここで $\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^2x\,dx=\pi$、$\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^4x\,dx=\frac{3\pi}{4}$。fは奇関数で増加し、$\displaystyle f(0)=0$、$\displaystyle |f(t)|\le M$（$\displaystyle |t|\le1$）なので $$\displaystyle 0\le \cos x f(\cos x)\le M|\cos x|.$$ 従って $\displaystyle 0\le R\le M\int_0^{2\pi}|\cos x|dx=4M$ となり、所要の不等式を得る。