IV鳥取大学 2011年 数学 第IV問解答・解説

$F(x)=\arctan x$。

・ $\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ より $x\le0$ で増加し $x\ge0$ で減少。さらに $$\displaystyle f''(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}$$ より $|x|<1/\sqrt3$ で上に凸（$f''<0$）、$|x|>1/\sqrt3$ で下に凸（$f''>0$）。変曲点は $(\pm1/\sqrt3,3/4)$、極大点は $(0,1)$、水平漸近線は $y=0$。

・ $F(1/\sqrt3)=\arctan(1/\sqrt3)=\pi/6$。

・ $A=\arctan x,B=\arctan y$ とすると $-\pi/4<A<\pi/4,\ -\pi/4<B<\pi/4$。従って $-\pi/2<A+B<\pi/2$ で、加法定理により $$\displaystyle \arctan\frac{x+y}{1-xy}=A+B.$$ よって恒等式が成り立つ。

・ $2-\sqrt3=\tan(\pi/4-\pi/6)=\tan(\pi/12)$ より $F(2-\sqrt3)=\pi/12$。

$F(x)=\arctan x$。$\displaystyle f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$、$\displaystyle f''(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}$なので増減・凹凸と変曲点が分かり、両端で$f(x)\to0$。$\displaystyle F(1/\sqrt3)=\arctan(1/\sqrt3)=\frac{\pi}{6}$。(3)では$A=\arctan x$、$B=\arctan y$とおくと$\displaystyle -\frac{\pi}{4}<A<\frac{\pi}{4}$、$\displaystyle -\frac{\pi}{4}<B<\frac{\pi}{4}$、ゆえに$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<A+B<\frac{\pi}{2}$。加法定理から$\displaystyle \tan(A+B)=\frac{x+y}{1-xy}$でありFの主値と一致。(4) $\displaystyle 2-\sqrt3=\tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})=\tan\frac{\pi}{12}$。