4新潟大学 2011年 数学 第4問解答・解説

加法定理より，積分 $$\displaystyle A=\int_0^{2\pi}f(t)\cos t\,dt,\qquad B=\int_0^{2\pi}f(t)\sin t\,dt$$ を用いると $$g(x)=A\cos x-B\sin x,\qquad h(x)=B\cos x+A\sin x$$ となる。

$0\leq u\leq\pi$ では $f(2\pi-u)=u=f(u)$ であるから， $$\displaystyle \begin{aligned} A&=2\int_0^\pi t\cos t\,dt =2\left[t\sin t+\cos t\right]_0^\pi=-4,\\ B&=\int_0^\pi t\sin t\,dt-\int_0^\pi u\sin u\,du=0. \end{aligned}$$ ここで $A$ の積分は部分積分で計算した。したがって $$g(x)=-4\cos x,\qquad h(x)=-4\sin x.$$

さらに $$\displaystyle y=g(x)+h(x)=-4(\cos x+\sin x)=-4\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$ $0\leq x\leq2\pi$ の範囲で正弦は $1$ と $-1$ の両方をとるので，最大値は $4\sqrt2$，最小値は $-4\sqrt2$ である。