信州大学 2009年数学第5問解答・解説

三角関数積分法数学的な表現の工夫

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1問題

信州大学2009年度第5問

次の問いに答えよ。

(1) tan 75° の値を求めよ。

(2) 不定積分 ∫ (x^2 log x + x e^x) dx を求めよ。

(3) 行列 A = [[3, 1], [1, 3]] と自然数 n に対して A^n = [[a_n, b_n], [c_n, d_n]] とおく。このとき, a_n + b_n および a_n, b_n, c_n, d_n を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

（1） $\tan 75^\circ=2+\sqrt{3}$ 。（2） $\displaystyle \int(x^2\log x+xe^x)\,dx=\frac{x^3}{3}\log x-\frac{x^3}{9}+(x-1)e^x+C$ （x>0）。（3） $\displaystyle a_n+b_n=4^n,\quad a_n=d_n=\frac{4^n+2^n}{2},\quad b_n=c_n=\frac{4^n-2^n}{2}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

（1）加法定理から $\displaystyle \tan75^\circ=\tan(45^\circ+30^\circ)=\frac{1+1/\sqrt3}{1-1/\sqrt3}=2+\sqrt3.$

（2） $x>0$ 。部分積分で $\displaystyle \int x^2\log x\,dx=\frac{x^3}{3}\log x-\frac{x^3}{9},\qquad \int xe^x\,dx=(x-1)e^x.$ これらを足し、微分すれば被積分関数に戻る。

（3） $A^0=I$ とし、対称な形 $A^n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\\b_n&a_n\end{pmatrix}$ が保たれることを積 $A A^n$ で確かめる。 $u_n=a_n+b_n$ 、 $v_n=a_n-b_n$ とおけば、行列積から $u_{n+1}=4u_n$ 、 $v_{n+1}=2v_n$ 、初期値は1,1。従って $u_n=4^n,v_n=2^n$ 、これを和差に戻せば $\displaystyle a_n=d_n=\frac{4^n+2^n}{2},\qquad b_n=c_n=\frac{4^n-2^n}{2},\qquad a_n+b_n=4^n.$

この問題で使う考え方

加法定理
部分積分
行列成分の漸化式

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