2山口大学 2011年 数学 第2問解答・解説

（1）被積分関数を展開するため、部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi x\cos x\,dx&=[x\sin x+\cos x]_0^\pi=-2,\\ \int_0^\pi x\sin x\,dx&=[-x\cos x+\sin x]_0^\pi=\pi. \end{aligned}$$ 二倍角の公式と $(\sin^2x)'=2\sin x\cos x$ から $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi x^2\,dx&=\frac{\pi^3}{3},\\ \int_0^\pi\cos^2x\,dx&=\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac{\pi}{2},\\ \int_0^\pi\sin x\cos x\,dx&=0. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} I&=\int_0^\pi\bigl(x^2+2ax\cos x+2a^2x\sin x\\ &\qquad\quad+a^2\cos^2x+2a^3\sin x\cos x+a^4\sin^2x\bigr)\,dx\\ &=\frac{\pi^3}{3}-4a+2\pi a^2+\frac{\pi}{2}a^2+\frac{\pi}{2}a^4\\ &=\frac{\pi^3}{3}-4a+\frac{5\pi}{2}a^2+\frac{\pi}{2}a^4. \end{aligned}$$

（2）(1)の式を用いて平方完成すると $$\displaystyle \begin{aligned} I-\frac{\pi}{2}a^4 &=\frac{5\pi}{2}a^2-4a+\frac{\pi^3}{3}\\ &=\frac{5\pi}{2}\left(a-\frac{4}{5\pi}\right)^2+\frac{5\pi^4-24}{15\pi}. \end{aligned}$$ ここで $a$ は実数なので平方項は0以上である。また $\pi>2$ なので $$5\pi^4-24>5\cdot2^4-24=56>0,\qquad 15\pi>0.$$ したがって定数項も正であり、すべての実数 $a$ について $\displaystyle I>\dfrac{\pi}{2}a^4$ が成り立つ。