3山口大学 2011年 数学 第3問解答・解説

$\alpha$ を超えない最大の整数を $m$ とし、$x=\alpha-m$ とおく。$\alpha$ は整数でないから $0<x<1$ である。区間内の最初の整数は $m+1$ であり、整数がちょうど2個なので、その2個は $m+1,m+2$ である。したがって $$m+2\leq\beta<m+3.$$ $y=\beta-(m+2)$ とおけば $0\leq y<1$、$\beta=m+2+y$ である。

解と係数の関係から $$\alpha+\beta=2m+2+x+y=-p\quad\text{は整数である}.$$ $0<x+y<2$ であるから $x+y=1$、従って $y=1-x$ となる。このとき $0<y<1$ も従う。

また、解と係数の関係から $\alpha\beta=q$ は整数である。$y=1-x$ を用いると $$\begin{aligned} q&=(m+x)(m+2+y)\\ &=(m+x)(m+3-x)\\ &=m(m+3)+3x-x^2. \end{aligned}$$ よって $3x-x^2$ は整数である。さらに $$0<3x-x^2<2,$$ なぜなら $3x-x^2>0$ かつ $2-(3x-x^2)=(1-x)(2-x)>0$ だからである。従って $3x-x^2=1$ であり、 $$\displaystyle x^2-3x+1=0,\qquad x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.$$ $0<x<1$ を満たすのは $\displaystyle x=\frac{3-\sqrt5}{2}$ だけである。よって $$\beta-\alpha=2+y-x=3-2x=\sqrt5.$$ この値は実現する。任意の整数 $m$ に対し $\displaystyle \alpha=m+\frac{3-\sqrt5}{2}$、$\displaystyle \beta=m+\frac{3+\sqrt5}{2}$ とすれば、根の和・積はそれぞれ $2m+3$、$m(m+3)+1$ と整数で、異なる実根である。また $m<\alpha<m+1$、$m+2<\beta<m+3$ なので区間に含まれる整数は $m+1,m+2$ の2個である。