1山口大学 2011年 数学 第1問解答・解説

置換 t=x^2 とおくと $t\ge0$ であり、共有点条件は、ある $t\ge0$ に対し $$at+b=|t-1|$$ が成り立つことである。差を $$F(t)=at+b-|t-1| =\begin{cases} (a+1)t+b-1 &(0\le t\le1),\\ (a-1)t+b+1 &(t\ge1) \end{cases}$$ とおく。 $0\leq t\leq1$ の範囲では $F$ は一次関数で、端点値は $F(0)=b-1,\ F(1)=a+b$。したがってこの区間に零点がある必要十分条件は $$(b-1)(a+b)\le0.$$ $t\geq1$ の範囲では $F(1)=a+b$、傾きは $a-1$ である。よって、$a<1$ なら零点がある条件は $a+b\ge0$、$a>1$ なら $a+b\le0$。$a=1$ では $F(t)=b+1$ なので $b=-1$ のときに限り零点をもつ。 以上の条件を合わせる。$a\le-1$ では全体の条件は $b\ge1$。$-1\le a<1$ では $b\ge-a$。$a=1$ では $-1\le b\le1$。$a>1$ では $b\le1$。従って必要十分条件は $$\boxed{ \begin{cases} b\ge1 &(a\le-1),\\ b\ge-a &(-1\le a<1),\\ -1\le b\le1 &(a=1),\\ b\le1 &(a>1). \end{cases}}$$ 境界 $a=-1$ の2表示はともに $b\ge1$ を与える。図の塗りつぶし部分が求める領域である。$a=1$ では $-1\le b\le1$ の縦線分だけが含まれ、その上下の縦線は含まれない。