3新潟大学 2011年 数学 第3問解答・解説

(1) $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$で、$|\vec a|=1$、$|\vec b|=2$、$|\vec b-\vec a|=AB=2$を内積の平方の式に代入すると、$4=1+4-2\vec a\cdot\vec b$であり、$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac12$。

(2) OAをx軸上に置いて$A=(1,0)$とする。内積からBのx座標は$\displaystyle \frac12$、$OB=2$からy座標の絶対値は$\displaystyle \frac{\sqrt{15}}2$。図形を反射しても長さは変わらないため$\displaystyle B=(\frac12,\frac{\sqrt{15}}2)$と置ける。角の二等分線はOAとOB方向の単位ベクトルの和の方向で、そのベクトルは$\displaystyle \left(\frac54,\frac{\sqrt{15}}4\right)$。したがって$\displaystyle P=(\frac{5\lambda}4,\frac{\sqrt{15}\lambda}4)$、$\lambda>0$と表せる。

$AP=BP$を平方して展開すると$-x+\sqrt{15}y=3$。この直線と二等分線の交点は$\displaystyle \lambda=\frac65$、すなわち$\displaystyle P=(\frac32,\frac{3\sqrt{15}}{10})$。よって$\displaystyle AP^2=(\frac12)^2+(\frac{3\sqrt{15}}{10})^2=\frac85$で、$\displaystyle AP=\frac{2\sqrt{10}}5$（長さなので正の値）。