1滋賀医科大学 2016年 数学 第1問解答・解説

点Cを原点とすると、点A、Bの位置ベクトルはそれぞれa,bである。辺の長さから $|\vec a|=13,\quad|\vec b|=15,\quad|\vec a-\vec b|=14$ なので、|a-b|^2=|a|^2+|b|^2-2a・b を使うと $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac{13^2+15^2-14^2}{2}=99$ となる。

(1) 重心の位置ベクトルは3頂点の平均なので、$\displaystyle \overrightarrow{CG}=\frac{\vec a+\vec b}{3}$。

(2) CH=x a+y b とおく。Hから辺BCへ下ろした高さはBCに垂直、Hから辺CAへ下ろした高さはCAに垂直であるから、(CH-b)・a=0、(CH-a)・b=0。これより 169x+99y=99、99x+225y=99 を得る。係数の積の差は 169・225−99^2=28224≠0 なので、消去法で解くと x=99/224、y=55/224。従って $\displaystyle \overrightarrow{CH}=\frac{99}{224}\vec a+\frac{55}{224}\vec b$。代入すれば二つの垂直条件をともに満たす。

(3) 余弦定理から cos C=(13^2+15^2−14^2)/(2・13・15)=33/65。Cは三角形の内角なので sin C>0 であり、sin C=56/65。面積は K=(1/2)・13・15・56/65=84。正弦定理から外接円半径は $\displaystyle R=\frac{14}{2\sin C}=\frac{65}{8}$。外心を CO=u a+v b とおくと、OC=OA=OB より (CO)・a=|a|^2/2、(CO)・b=|b|^2/2。したがって 169u+99v=169/2、99u+225v=225/2 であり、$\displaystyle u=\frac{125}{448},\quad v=\frac{169}{448}$。確認として |CO|^2=u(169/2)+v(225/2)=4225/64=(65/8)^2。

(4) 半周長は21なので、内接円半径は $\displaystyle r=\frac{K}{21}=4$。内心Iから各辺までの高さはすべてrだから、[IBC]:[ICA]:[IAB]=BC:CA:AB=15:13:14。Cを原点にすると、[IBC]/[ABC]=x、[ICA]/[ABC]=y、[IAB]/[ABC]=1−x−y となる。従って x=15/42、y=13/42 であり、$\displaystyle \overrightarrow{CI}=\frac{15}{42}\vec a+\frac{13}{42}\vec b$。