III横浜市立大学 2011年 数学 第III問解答・解説

扇形の弧の長さは $\displaystyle a\cdot\frac{\pi}{3}$ であり、これが円 $S$ の周の長さ $2\pi b$ に等しいから、$\displaystyle b=\frac{a}{6}$ である。

扇形を円錐の側面に展開したとき、頂点から距離 $s$ の円周上で、母線の方位角が $\theta$ だけ進んだ部分の長さは、円錐上では $\displaystyle \frac{b}{a}s\theta$、展開図では $s\alpha$ である。ただし $\alpha$ は展開図で $AP$ から測った角である。展開は長さを保つので $\displaystyle s\alpha=\frac{b}{a}s\theta$、したがって $\displaystyle \alpha=\frac{\theta}{6}$ となる。

(1) 展開図では $AP=AQ=a$ かつ $\displaystyle \angle PAQ=\frac{\pi}{3}$ なので、三角形 $APQ$ は正三角形である。弦 $PQ$ への垂線の足を $H$ とすると、$H$ は $PQ$ の中点であり、$\displaystyle AH=a\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$ である。また $\displaystyle \angle PAH=\frac{\pi}{6}$ である。展開図で $M$ に対応する点を $M_0$ とする。このとき $AM_0=AM$ であり、$M_0$ は弦 $PQ$ 上にある。線分 $AM_0$ の $AH$ 方向の成分は $\displaystyle AM\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})$ で、これは $AH$ に等しい。よって $$\displaystyle AM=\frac{\sqrt{3}a}{2\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})}=\frac{\sqrt{3}a}{2\cos\frac{\theta-\pi}{6}}.$$ ここで $0\leq\theta\leq2\pi$ より $\displaystyle -\frac{\pi}{6}\leq\frac{\theta-\pi}{6}\leq\frac{\pi}{6}$ なので、分母は正である。

(2) $A$ は $z$ 軸上にあり、$R$ は $xy$ 平面上にあるので、線分 $AR$ の長さは母線の長さ $a$ である。$AM$ の長さを $s$ とおくと、$M$ は $AR$ を $AM:AR=s:a$ に内分する。したがって $\overrightarrow{OM}$ の $xy$ 平面への正射影は $\displaystyle \frac{s}{a}\overrightarrow{OR}$ であり、その長さは $\displaystyle r=\frac{s}{a}b$ である。(1) と $\displaystyle b=\frac{a}{6}$ を代入して $$\displaystyle r(\theta)=\frac{b}{a}AM=\frac{\sqrt{3}a}{12\cos\frac{\theta-\pi}{6}}.$$ ゆえに、$\displaystyle u=\frac{\theta-\pi}{6}$ とおくと $d\theta=6\,du$ であり、積分の範囲は $\displaystyle -\frac{\pi}{6}\leq u\leq\frac{\pi}{6}$ となるから、 $$\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac12\{r(\theta)\}^2\,d\theta=\frac{a^2}{96}\cdot6\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\frac{du}{\cos^2u}=\frac{a^2}{16}[\tan u]_{-\pi/6}^{\pi/6}=\frac{a^2}{16}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{24}.$$