4広島大学 2017年 数学 第4問解答・解説

平面$T$は直線$AB$（$x=-1,z=0$）を含むので、$y$に関する項をもたず、$z=m(x+1)$と表せる。$z$軸との交点の$z$座標が正であるから$m>0$である。平面$H$とのなす角が$45^\circ$なので$m=\tan45^\circ=1$、したがって$T$は$z=x+1$である。$z$軸を含む方の立体は $$V=\{(x,y,z):x^2/4+y^2\leq1,\ -1\leq x\leq2,\ 0\leq z\leq x+1\}$$ である。

(1) $H$上での$V$の範囲は楕円内かつ$x\geq-1$である。 $$\displaystyle A=\int_{-1}^{2}2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\,dx.$$ $x=2\sin\theta$とおくと、$-\pi/6\leq\theta\leq\pi/2$であり、$\cos\theta\geq0$だから $$\displaystyle A=4\int_{-\pi/6}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta=\left[2\theta+\sin2\theta\right]_{-\pi/6}^{\pi/2}=\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}.$$

(2) $x=t$で切ると、楕円柱内での$y$の範囲は$-\sqrt{1-t^2/4}\leq y\leq\sqrt{1-t^2/4}$、$z$の範囲は$0\leq z\leq t+1$である。断面は長方形となるので $$\displaystyle S(t)=2(t+1)\sqrt{1-\frac{t^2}{4}}\qquad(-1<t<2).$$

(3) $$\displaystyle \begin{aligned}V_0&=\int_{-1}^{2}S(t)\,dt=\int_{-1}^{2}(t+1)\sqrt{4-t^2}\,dt.\end{aligned}$$ $t=2\sin\theta$とおけば $$\displaystyle V_0=4\int_{-\pi/6}^{\pi/2}(2\sin\theta+1)\cos^2\theta\,d\theta=8\int_{-\pi/6}^{\pi/2}\sin\theta\cos^2\theta\,d\theta+4\int_{-\pi/6}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta.$$ 第1項は$\displaystyle \left[-\frac83\cos^3\theta\right]_{-\pi/6}^{\pi/2}=\sqrt3$、第2項は$\displaystyle \left[2\theta+\sin2\theta\right]_{-\pi/6}^{\pi/2}=\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}$だから $$\displaystyle V_0=\frac{4\pi}{3}+\frac{3\sqrt3}{2}.$$