広島大学 2017年数学第3問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

広島大学2017年度第3問

表が出る確率が $p$ ，裏が出る確率が $1-p$ であるようなコインがある。ただし， $0<p<1$ である。このとき，下図のような正三角形の3頂点 $A,B,C$ を次の規則で移動する動点 $R$ を考える。

コインを投げて表が出れば $R$ は反時計まわりに隣の頂点に移動し，裏が出れば $R$ は時計まわりに隣の頂点に移動する。

三角形ABCの図。上の頂点にA、左下にB、右下にCと記され、3辺は実線で描かれている。

$R$ は最初 $A$ にあり，全部で $(2N+3)$ 回移動する。ここで， $N$ は自然数である。移動回数がちょうど $k$ に達したときに $R$ が $A$ に初めて戻る確率を $P_k\ (k=2,3,\ldots,2N+3)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $P_2,\ P_3$ を求めよ。

(2) $P_{2m},\ P_{2m+1}\ (2\leq m\leq N+1)$ を求めよ。

(3) $\displaystyle p=\frac{1}{2}$ とする。移動回数がちょうど $2N+3$ に達したときに $R$ が $A$ に2度目に戻る確率 $Q$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) P_2
2p(1-p)
(1) P_3
$p^3+(1-p)^3$
(2) P_{2m}
$2[p(1-p)]^m$
(2) P_{2m+1}
$[p(1-p)]^{m-1}[p^3+(1-p)^3]$
(3)
$Q=N/2^{2N}=N/4^N$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$q=1-p$ とする。3頂点のうちAへ戻らないための移動は、初めの向きが決まると各中間時点で一つに定まり、初回帰還の目の並びは逆向きの2通りだけとなる。偶数回では表裏が各 $m$ 回、奇数 $2m+1$ 回では一方が表 $m+2$ 回・裏 $m-1$ 回、逆向きがその反対になる。 $\displaystyle p=q=\frac12$ では $P_k=2^{1-k}$ 。2度目の帰還時刻 $T=2N+3$ について、最初の帰還時刻 $j=2,\ldots,T-2$ ごとの確率 $P_jP_{T-j}$ を足し、 $\displaystyle Q=(T-3)2^{2-T}=\frac{N}{2^{2N}}$ を得る。詳細な全小問解説はauthor.tex。

この問題で使う考え方

余事象を避ける移動の列挙
確率の乗法・加法
初回帰還時刻による場合分けと独立性

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