2名古屋市立大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) 金貨となる位置の選び方は全体で $\displaystyle \binom{9}{6}=\binom{9}{3}=84$ 通りであり、いずれも同じ確率で起こる。連が5個のとき、最初と最後の連は同じ種類の硬貨である。最初が金貨なら、連の種類は金・銀・金・銀・金の順になる。金貨6枚を3個の連に分ける正の整数の組は $\displaystyle \binom{5}{2}=10$ 通り、銀貨3枚を2個の連に分ける組は $\displaystyle \binom{2}{1}=2$ 通りなので、この場合は $10\cdot2=20$ 通りである。最初が銀貨なら、銀貨3枚を3個の連に分ける方法は1通り、金貨6枚を2個の連に分ける方法は $\displaystyle \binom{5}{1}=5$ 通りであり、5通りである。したがって求める確率は $\displaystyle \dfrac{20+5}{84}=\boxed{\dfrac{25}{84}}$ である。

(2) $k=2m$ とおくと、$1\leq m\leq n$ である。連が偶数個なら最初と最後の硬貨は異なり、金貨と銀貨の連が交互に現れる。したがって各種類の硬貨はそれぞれ $m$ 個の連を作る。$n$ 枚を順序を保って $m$ 個の正の連の長さに分ける方法は、$n-1$ 個の隙間から $m-1$ 個を境目として選ぶので $\displaystyle \binom{n-1}{m-1}$ 通りである。最初の硬貨の種類は2通りだから、連が $k$ 個となる並びは $\displaystyle 2\binom{n-1}{m-1}^{2}$ 通り。全体は $\displaystyle \binom{2n}{n}$ 通りであるから、確率は $\displaystyle \boxed{\dfrac{2\binom{n-1}{k/2-1}^{2}}{\binom{2n}{n}}}$ となる。

(3) $\ell=2m+1$ とおくと、$1\leq m\leq n-1$ である。連が奇数個なら最初と最後の硬貨は同じ種類である。最初が金貨の場合、金貨は $m+1$ 個、銀貨は $m$ 個の連を作る。よって連の長さの分け方はそれぞれ $\displaystyle \binom{n-1}{m}$ 通り、$\displaystyle \binom{n-1}{m-1}$ 通りであり、積の法則から $\displaystyle \binom{n-1}{m}\binom{n-1}{m-1}$ 通りとなる。最初が銀貨の場合も同数なので、連が $\ell$ 個となる並びは $\displaystyle 2\binom{n-1}{m}\binom{n-1}{m-1}$ 通りである。全体は $\displaystyle \binom{2n}{n}$ 通りだから、求める確率は $\displaystyle \boxed{\dfrac{2\binom{n-1}{(\ell-1)/2}\binom{n-1}{(\ell-3)/2}}{\binom{2n}{n}}}$ である。

検算として $n=2$ のとき全並びは $\displaystyle \binom{4}{2}=6$ 通りであり、連の個数が2個、3個、4個となる並びは各2通りである。上の式もそれぞれの有利な並びを2通りずつ与え、合計は6通りとなる。