1奈良県立医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

2枚、3枚を取り出す組の総数は、それぞれ $\displaystyle \binom92=36$、$\displaystyle \binom93=84$ 通りである。いずれの組も同様に確からしいから、条件を満たす組の数をこれらで割る。

(1) 奇数は5枚、偶数は4枚である。2枚の和が偶数となるのは、奇数2枚または偶数2枚の場合だから、 $$\displaystyle \text{ア}=\frac{\binom52+\binom42}{\binom92} =\frac{10+6}{36}=\boxed{\frac49}.$$

(2) 3枚の和が偶数となるのは、奇数0枚または奇数2枚の場合である。したがって、 $$\displaystyle \text{イ}=\frac{\binom43+\binom52\binom41}{\binom93} =\frac{4+40}{84}=\boxed{\frac{11}{21}}.$$

(3) 3で割った余りが0、1、2のカードは、それぞれ $\{3,6,9\}$、$\{1,4,7\}$、$\{2,5,8\}$ であり、各3枚である。2枚の和が3の倍数となるのは、余りが $(0,0)$ または $(1,2)$ の場合だから、 $$\displaystyle \text{ウ}=\frac{\binom32+3\cdot3}{\binom92} =\frac{3+9}{36}=\boxed{\frac13}.$$

(4) 3枚の和が3の倍数となる余りの組は、$(0,0,0)$、$(1,1,1)$、$(2,2,2)$、$(0,1,2)$ である。よって、 $$\displaystyle \text{エ}=\frac{3\binom33+3\cdot3\cdot3}{\binom93} =\frac{3+27}{84}=\boxed{\frac5{14}}.$$

(5) 3枚の和の最小値は $1+2+3=6$、最大値は $7+8+9=24$ である。したがって、6の倍数となる和は $6,12,18,24$ に限られる。和が6となる組は $(1,2,3)$ の1通りであり、和が12となる組は $$(1,2,9),\ (1,3,8),\ (1,4,7),\ (1,5,6),\ (2,3,7),\ (2,4,6),\ (3,4,5)$$ の7通りである。これで尽くすことは、3枚のうち最小の数字を1、2、3としたとき、残り2枚の和がそれぞれ11、10、9であり、その組が順に4、2、1通りであることから分かる。最小の数字が4以上なら和は少なくとも $4+5+6=15$ となり、12にはならない。各カードの数字 $x$ を $10-x$ に置き換えると、異なる3枚の組は異なる3枚の組に対応し、その和は $S$ から $30-S$ へ変わる。よって、和が18となる組も7通りであり、和が24となる組は $(7,8,9)$ の1通りである。以上より条件を満たす組は $1+7+7+1=16$ 通りなので、 $$\displaystyle \text{オ}=\frac{16}{\binom93}=\frac{16}{84}=\boxed{\frac4{21}}.$$