1広島大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle a_1=\tan\frac\pi3=\sqrt3$より $$\displaystyle a_2=\frac{\sqrt3}{\sqrt{3+1}+1}=\frac{\sqrt3}{3}=\frac1{\sqrt3}=\tan\frac\pi6.$$ $$\displaystyle a_3=\frac{1/\sqrt3}{\sqrt{1/3+1}+1}=\frac1{2+\sqrt3}=2-\sqrt3.$$ $$\displaystyle \tan\frac\pi{12}=\tan\left(\frac\pi4-\frac\pi6\right)=\frac{1-1/\sqrt3}{1+1/\sqrt3}=2-\sqrt3$$ だから、$\displaystyle a_3=\tan\frac\pi{12}$。

(2) $\displaystyle a_n=\tan\frac{\pi}{3\cdot2^{n-1}}$を数学的帰納法で示す。$n=1$のときは定義$\displaystyle a_1=\tan\frac\pi3$より成り立つ。$n\ge1$で $$\displaystyle a_n=\tan\theta,\qquad \theta=\frac{\pi}{3\cdot2^{n-1}}$$ と仮定する。このとき$\displaystyle 0<\theta\le\frac\pi3<\frac\pi2$なので$\sqrt{1+\tan^2\theta}=\sec\theta$である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1}&=\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}+1} =\frac{\tan\theta}{\sec\theta+1} =\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\\ &=\frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)} =\tan\frac\theta2 =\tan\frac{\pi}{3\cdot2^n}. \end{aligned}$$ よって帰納法によりすべての自然数$n$について成り立つ。

(3) $\displaystyle \theta_n=\frac{\pi}{3\cdot2^{n-1}}$とおくと$\theta_n\to0+$であり、(2)より $$\displaystyle \begin{aligned} 2^n a_n&=2^n\tan\theta_n =(2^n\theta_n)\frac{\sin\theta_n}{\theta_n}\frac1{\cos\theta_n}\\ &\longrightarrow\frac{2\pi}{3}\cdot1\cdot1=\frac{2\pi}{3}, \end{aligned}$$ ただし、$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$、$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\cos x=1$を用いた。