1山形大学 2017年 数学 第1問解答・解説

全事象は、3個のさいころの出目 $(a,b,c)$ の $6^3=216$ 通りで、いずれも同様に確からしい。

(1) 最小値が $2$ となるのは、全ての出目が $2$ 以上で、少なくとも一つが $2$ の場合である。したがって $$\displaystyle \frac{5^3-4^3}{216}=\frac{61}{216}.$$

(2) 和が $4$ となる出目は $(2,1,1)$ の並べ替えの $3$ 通りである。また $(a,b,c)\mapsto(7-a,7-b,7-c)$ は和 $4$ と和 $17$ の出目を一対一に対応させるので、和が $17$ となる出目も $3$ 通り。両事象は排反だから $$\displaystyle \frac{3+3}{216}=\frac1{36}.$$

(3) $5\le S\le16$ の余事象は $S\le4$ または $S\ge17$ である。$S\le4$ は和 $3$ の $1$ 通りと和 $4$ の $3$ 通り、$S\ge17$ は対称性により $4$ 通りだから $$\displaystyle 1-\frac{4+4}{216}=\frac{26}{27}.$$

(4) $AB$ の長さは $a+b$、点 $C$ から $x$ 軸までの高さは $c^2$ なので $$\displaystyle T=\frac12(a+b)c^2.$$ $c=1$ なら全 $36$ 通りが条件を満たす。$c=2$ なら $a+b\le4$ となり、組 $(a,b)$ は和 $2,3,4$ の場合を合わせて $1+2+3=6$ 通り。$c=3$ なら $a+b\le2$ なので $(a,b)=(1,1)$ の $1$ 通り。$c\ge4$ では最小面積が $c^2\ge16>9$ となり該当しない。従って有利な出目は $36+6+1=43$ 通りで、求める確率は $$\displaystyle \frac{43}{216}.$$