2福井大学 2017年 数学 第2問解答・解説

性別を男・女、検査結果を男・女とする。事前確率はそれぞれ$1/2$であり、$P(\text{検査男}\mid\text{男})=17/20$、$P(\text{検査女}\mid\text{女})=3/4$である。検査結果は二択なので、$P(\text{検査男}\mid\text{女})=1-3/4=1/4$。したがって(1)は$1/4$。全確率の公式から$$\displaystyle P(\text{検査男})=P(\text{検査男}\mid\text{男})P(\text{男})+P(\text{検査男}\mid\text{女})P(\text{女})=\frac{17}{20}\cdot\frac12+\frac14\cdot\frac12=\frac{17}{40}+\frac{5}{40}=\frac{11}{20}.$$ よって(2)は$11/20$。検査結果が男のとき正しい確率は$$\displaystyle P(\text{男}\mid\text{検査男})=\frac{P(\text{男かつ検査男})}{P(\text{検査男})}=\frac{(1/2)(17/20)}{11/20}=\frac{17}{22}.$$ 検査結果が女のとき正しい確率は$$\displaystyle P(\text{女}\mid\text{検査女})=\frac{P(\text{女かつ検査女})}{P(\text{検査女})}=\frac{(1/2)(3/4)}{1-11/20}=\frac{3/8}{9/20}=\frac56.$$ 比較すると$5/6-17/22=2/33>0$なので、検査結果が女の場合の方が高い確率で正しい。