1旭川医科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

悪性を $M$、良性を $B$、腫瘍がないことを $N$、検査で「Xがある」と判定されることを $A$ とする。 $$\displaystyle P(M)=0.03\cdot\frac13=0.01,\quad P(B)=0.03\cdot\frac23=0.02,\quad P(N)=0.97.$$ 条件付き確率は $$P(A\mid M)=0.95,\quad P(A\mid B)=0.80,\quad P(A\mid N)=1-0.90=0.10.$$ 問1は全確率の法則より $$\displaystyle P(A)=0.01\cdot0.95+0.02\cdot0.80+0.97\cdot0.10 =0.1225=\frac{49}{400}.$$ 問2は条件付き確率より $$\displaystyle P(M\mid A)=\frac{P(M\cap A)}{P(A)} =\frac{0.01\cdot0.95}{0.1225}=\frac{19}{245}.$$ 問3では「悪性でない」は $B\cup N$ であり、 $$P(B\cup N)=0.02+0.97=0.99.$$ また $$P(A^{c}\cap(B\cup N)) =0.02\cdot(1-0.80)+0.97\cdot0.90=0.877.$$ したがって $$\displaystyle P(A^{c}\mid B\cup N)=\frac{0.877}{0.99}=\frac{877}{990}.$$