3旭川医科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

以下、$L=\log a>0$、$c=(a+a^{-1})/2$ とおく。弦ABを $y=\ell(x)$ と書くと $$\displaystyle \ell(x)=\frac{2L}{a-a^{-1}}(x-c).$$ $(\log x)\text{ の二階導関数}=-1/x^2<0$ だから、曲線 $y=\log x$ は弦より上にある。$\ell$ は$1/a\le x\le a$ の範囲の中点 $c$ に関して奇関数なので、その積分は $0$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{1/a}^{a}(\log x-\ell(x))\,dx\\ &=\int_{1/a}^{a}\log x\,dx\\ &=\left[x\log x-x\right]_{1/a}^{a} =(a+a^{-1})L-(a-a^{-1}). \end{aligned}$$ $\ell$ とx軸の交点は $x=c$。左右の三角形の底辺はいずれも $(a-a^{-1})/2$、高さは $L$ なので $$\displaystyle T=2\cdot\frac12\cdot\frac{a-a^{-1}}2\cdot L=\frac{(a-a^{-1})L}{2}.$$ したがって $$\displaystyle R(a)=\frac ST=2\left(\frac{a^2+1}{a^2-1}-\frac1{\log a}\right).$$ $a\to\infty$ では $R(a)\to2$。また、$\displaystyle \log a=\int_1^a dx/x$ より $(a-1)/a<\log a<a-1$ だから $$\displaystyle \frac{T}{(a-1)^2}=\frac{a+1}{2a}\frac{\log a}{a-1}\longrightarrow1\qquad(a\to1+).$$ 次に $r=a-1>0$ とおくと $$\displaystyle a+\frac1a=2+\frac{r^2}{1+r},\qquad a-\frac1a=\frac{r(2+r)}{1+r}.$$ 問題文の不等式 $\log(1+r)<r-r^2/2+r^3/3$ を $S$ の式に代入して整理すると $$\displaystyle 0<S<\frac{r^3}{1+r}\left(\frac23+\frac r6+\frac{r^2}{3}\right).$$ 左の不等式は、$1/a<x<a$ では曲線 $y=\log x$ が弦ABより上にあることによる。したがって $S/(a-1)^2\to0$、さらに $S/T\to0$ である。

$R$ を微分すると $$\displaystyle R'(a)=2\left(\frac1{a(\log a)^2}-\frac{4a}{(a^2-1)^2}\right).$$ $g(a)=(a^2-1)/(2a)-\log a$ とおけば $g(1)=0$、 $$\displaystyle g'(a)=\frac{(a-1)^2}{2a^2}>0\qquad(a>1).$$ ゆえに $(a^2-1)/(2a)>\log a>0$。両辺を二乗すると $(a^2-1)^2>4a^2(\log a)^2$ であり、上の導関数から $R'(a)>0$ が従う。

問4では $$\displaystyle R(e^{3/2})=\frac{2(e^3+5)}{3(e^3-1)}<1$$ である。これは $e^3>13$ と同値で、問題文の $e=2.7182\cdots>2.7$ から成り立つ。一方 $$\displaystyle R(e^2)=\frac{e^4+3}{e^4-1}>1.$$ $R$ は連続であり、$1<a_1<a_2$ なら $R(a_1)<R(a_2)$ となる。したがって中間値の定理より、$e^{3/2}<a<e^2$ の範囲に $R(a)=1$、すなわち $S=T$ となる $a$ がただ1つ存在する。

対数曲線が上に凸であることと弦の対称性からSを定積分で、Tを二つの三角形で求める。面積比Rを明示して、a→∞の極限とa→1+の評価を行い、補助関数の微分でRが増加することを証明する。最後に指定区間の両端でRが1を挟むことを確かめ、中間値の定理と、異なるaの値に対してRが同じ値をとらないことから交点の存在と一意性を示す。