II横浜市立大学 2011年 数学 第II問解答・解説

行列 $A$ と $E$ を $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{2}\\[2pt]\dfrac{1}{2}&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix},\qquad E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 行列 $(E-A)^{-1}$ を求めよ。

(2) 零ベクトルでないベクトル $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ に対して $$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$ とおくとき、 $$\sqrt{X^{2}+Y^{2}}=r\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$ をみたす $r$ を求めよ。

(3) ベクトル $\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}$ が与えられたとき、ベクトル $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ を次のように定める。 $$\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_{n-1}\\y_{n-1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\qquad (n=1,2,3,\dots).$$ このとき、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}x_{n}\quad\text{と}\quad\lim\limits _{n\to\infty}y_{n}$$ を求めよ。