東京大学 2001年数学第2問解答・解説

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1問題

東京大学2001年度第2問

次の等式を満たす関数 f(x) (0 $\le$ x $\le$ 2 $\pi$ ) がただ一つ定まるための実数 a, b の条件を求めよ。また、そのときの f(x) を決定せよ。

f(x)= $\displaystyle \frac{a}{2\pi}$ $\displaystyle \int_0^{2\pi}$ $\sin$ (x+y)f(y) dy+ $\displaystyle \frac{b}{2\pi}$ $\displaystyle \int_0^{2\pi}$ $\cos$ (x-y)f(y) dy+ $\sin$ x+ $\cos$ x

ただし、f(x) は区間 0 $\le$ x $\le$ 2 $\pi$ で連続な関数とする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

一意解の条件は $a+b\ne2$ かつ $b-a\ne2$ 。このとき $\displaystyle f(x)=\frac{2}{2-a-b}(\sin x+\cos x)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

加法定理で右辺を $\sin x,\cos x$ の一次結合に整理し、 $f=A\sin x+B\cos x$ と置く。正規化した三角積分から $P=A,\quad Q=B$ 。得られる係数方程式の和差は $(2-a-b)(A+B)=4$ 、 $(2+a-b)(A-B)=0$ 。したがって唯一解条件は $a+b\ne2$ かつ $b-a\ne2$ で、このとき $\displaystyle A=B=\frac2{2-a-b}$ 。代入して存在を確認する。

既存F054の加法定理展開と係数系を原文に照らして点検。 $\displaystyle P=\pi^{-1}\int \sin y\,f(y)\,dy$ 、 $\displaystyle Q=\pi^{-1}\int \cos y\,f(y)\,dy$ とすると解は $A\sin x+B\cos x$ で、P=A,Q=B。係数和差は $(2-a-b)(A+B)=4$ 、 $(2+a-b)(A-B)=0$ 。よって一意解には $a+b\ne2$ かつ $b-a\ne2$ が必要十分。両条件下で $\displaystyle A=B=\frac2{2-a-b}$ 、候補代入で存在、sin/cosの一次独立性で一意性。current authorの結論と一致。

この問題で使う考え方

加法定理
三角関数の直交積分
係数比較
一意性の確認

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