4熊本大学 2010年 数学 第4問解答・解説

（問1）積と合成関数の微分法により $$f'(x)=e^{-x}\{(ap-b)\cos(px)+(-a-bp)\sin(px)\}.$$ これが全ての $x$ について $e^{-x}\sin(px)$ に等しい。$p\ne0$ なので、例えば $x=0$ と $\displaystyle x=\frac{\pi}{2p}$ を代入して係数を比較すると $$ap-b=0,\qquad -a-bp=1.$$ 従って $b=ap$ であり、$-(1+p^2)a=1$。よって $$\displaystyle a=-\frac1{1+p^2},\qquad b=-\frac{p}{1+p^2}.$$ これを係数式に戻すと余弦の係数は0、正弦の係数は1となるため、条件を満たす。

（問2）$t\ne0$ より $p=1/t$。問1を用いると $$\displaystyle G(x)=e^{-x}\left(-\frac{t^2}{1+t^2}\sin\frac{x}{t}-\frac{t}{1+t^2}\cos\frac{x}{t}\right)$$ は $G'(x)=e^{-x}\sin(x/t)$ を満たす。従って $$\displaystyle \begin{aligned} S(t)&=G(t^2)-G(0)\\ &=\frac{t}{1+t^2}\left\{1-e^{-t^2}\cos t-te^{-t^2}\sin t\right\}\\ &=\frac{t}{1+t^2}\left\{1-e^{-t^2}(\cos t+t\sin t)\right\}. \end{aligned}$$

（問3）$x=t^2u$ と置換すれば $$\displaystyle \frac{S(t)}{t^3}=\int_0^1 e^{-t^2u}\frac{\sin(tu)}{t}\,du.$$ $0<|t|<\pi/2$ なら $0\le u\le1$ で、基本不等式 $\cos(tu)\le\sin(tu)/(tu)\le1$（$u=0$ では連続値）および $\cos(tu)\ge\cos t$ が成り立つ。また $e^{-t^2}\le e^{-t^2u}\le1$。ゆえに被積分関数は $e^{-t^2}u\cos t$ 以上 $u$ 以下であり、 $$\displaystyle \frac12e^{-t^2}\cos t\le\frac{S(t)}{t^3}\le\frac12.$$ 両端は $t\to0$ で $1/2$ に収束するため、はさみうちより $$\displaystyle \lim\limits _{t\to0}\frac{S(t)}{t^3}=\frac12.$$