2熊本大学 2010年 数学 第2問解答・解説

初回2球に含まれる赤球数 $k$ で場合分けする。$\displaystyle P(k=0)=\frac{\binom62}{\binom{10}2}=\frac13$、$\displaystyle P(k=1)=\frac{\binom41\binom61}{\binom{10}2}=\frac8{15}$、$\displaystyle P(k=2)=\frac{\binom42}{\binom{10}2}=\frac2{15}$。$k=0$では追加なしでどちらの事象も起きない。$k=1$では残りが赤3・白5なので、問1・問2とも追加球が赤となる条件付き確率 $\displaystyle \frac38$。$k=2$では残りが赤2・白6。問1は追加2球がともに白なら赤総数2のままで、その確率は $\displaystyle \frac{\binom62}{\binom82}=\frac{15}{28}$。問2は追加球に赤が少なくとも1個あれば赤が白を上回り、その確率は $\displaystyle \frac{13}{28}$。全確率を足すと問1は $\displaystyle \frac8{15}\cdot\frac38+\frac2{15}\cdot\frac{15}{28}=\frac{19}{70}$、問2は $\displaystyle \frac8{15}\cdot\frac38+\frac2{15}\cdot\frac{13}{28}=\frac{11}{42}$。