3名古屋大学 2010年 数学 第3問解答・解説

操作前を $n=0$ として $(a_0,b_0,c_0)=(1,0,0)$ と置く。表なら $A,B$ の赤玉の有無が入れ替わり、裏なら $B,C$ の赤玉の有無が入れ替わる。各事象の確率は $\displaystyle \frac12$ なので、次の段階で $A$ が赤玉を持つ確率は $\displaystyle \frac12a_n+\frac12b_n$、$B$ は $\displaystyle \frac12a_n+\frac12c_n$、$C$ は $\displaystyle \frac12b_n+\frac12c_n$ である。これより $\displaystyle (a_1,b_1,c_1)=(\frac12,\frac12,0)$、$\displaystyle (a_2,b_2,c_2)=(\frac12,\frac14,\frac14)$。 各操作後も赤玉は1個なので $a_n+b_n+c_n=1$。$x_n=a_n-c_n$、$y_n=a_n-2b_n+c_n$ とおくと、漸化式から $\displaystyle x_{n+1}=\frac12x_n$、$\displaystyle y_{n+1}=-\frac12y_n$。初期値 $x_0=y_0=1$ より $\displaystyle x_n=(\frac12)^n$、$\displaystyle y_n=(-\frac12)^n$。さらに $y_n=(a_n+c_n)-2b_n=1-3b_n$ だから $\displaystyle b_n=\frac{1-y_n}{3}$。また $\displaystyle a_n+c_n=1-b_n=\frac{2+y_n}{3}$。これと $a_n-c_n=x_n$ を連立して $\displaystyle a_n=\frac13+\frac{y_n}{6}+\frac{x_n}{2}$、$\displaystyle c_n=\frac13+\frac{y_n}{6}-\frac{x_n}{2}$ を得る。上の $x_n,y_n$ を代入すれば示した一般項となる。