1名古屋大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) $N$ は線分 $RD$ 上にあるから $0\leq t\leq1$ である。また $$\displaystyle M=\left(1,\frac12,1\right),\qquad N=(0,1,t).$$ 平面 $OMN$ 上の点は $$\displaystyle sM+rN=\left(s,\frac{s}{2}+r,s+tr\right)$$ と表せる。これを $(x,y,z)$ と書けば $\displaystyle s=x,\ r=y-\frac{x}{2}$ なので、平面 $OMN$ の方程式は $$\displaystyle z=\left(1-\frac t2\right)x+ty. \tag{1}$$ 線分 $PD$ 上の点を $$(1-\lambda,\lambda,\lambda)\qquad(0\leq\lambda\leq1)$$ とおく。(1)に代入して $$\displaystyle \lambda=\left(1-\frac t2\right)(1-\lambda)+t\lambda$$ を解くと $$\displaystyle \lambda=\frac{2-t}{4-3t}.$$ $0\leq t\leq1$ のとき $4-3t>0$ で、$\displaystyle \frac12\leq\lambda\leq1$ だから、交点は実際に線分 $PD$ 上にある。よって $$\displaystyle K=\left(\frac{2(1-t)}{4-3t},\frac{2-t}{4-3t},\frac{2-t}{4-3t}\right).$$

(2) 線分 $PB$ 上の点は $(1,0,\mu)$ と表せる。(1)に代入すると $$\displaystyle \mu=1-\frac t2,$$ したがって $$\displaystyle L=\left(1,0,1-\frac t2\right).$$ $0\leq t\leq1$ より $\displaystyle \frac12\leq\mu\leq1$ で、$L$ は線分 $PB$ 上にある。三角形 $OPL$ は平面 $y=0$ 上にあり、$OP=1$, $\displaystyle PL=1-\frac t2$ で両辺は垂直だから、その面積は $$\displaystyle \frac12\left(1-\frac t2\right).$$ また、$K$ から平面 $y=0$ までの距離は $K$ の $y$ 座標 $\displaystyle \lambda=\frac{2-t}{4-3t}$ である。よって $$\displaystyle V(t)=\frac13\cdot\frac12\left(1-\frac t2\right)\frac{2-t}{4-3t} =\frac{(2-t)^2}{12(4-3t)} \qquad(0\leq t\leq1).$$ 微分すると $$\displaystyle V'(t)=\frac{(2-t)(3t-2)}{12(4-3t)^2}.$$ $0\le t\le1$ の範囲では $2-t>0$, $4-3t>0$ なので、$V'(t)<0$ は $\displaystyle 0\leq t<\frac23$、$\displaystyle V'(\frac23)=0$、$V'(t)>0$ は $\displaystyle \frac23<t\leq1$ である。したがって最小値は $\displaystyle t=\frac23$ のときで $$\displaystyle V\left(\frac23\right)=\frac{2}{27}.$$ 最大値は端点で生じ、 $$\displaystyle V(0)=V(1)=\frac1{12}.$$ 従って最大値は $\displaystyle \frac1{12}$（$t=0,1$）、最小値は $\displaystyle \frac2{27}$（$\displaystyle t=\frac23$）である。