1東京慈恵会医科大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) $AB=x\ (x>0)$ とおく。条件から $CD=3x,\ BC=2x^2,\ DA=4x^2$ である。四角形 $ABCD$ は円に内接するから、$\angle BCD=180^\circ-\angle BAD=60^\circ$ となる。対角線 $BD$ に余弦定理を用いると、 $$\begin{aligned} BD^2&=AB^2+DA^2-2\cdot AB\cdot DA\cos120^\circ=x^2+16x^4+4x^3,\\ BD^2&=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos60^\circ=4x^4+9x^2-6x^3. \end{aligned}$$ よって $2x^2(6x^2+5x-4)=2x^2(3x+4)(2x-1)=0$ であり、$x>0$ より $\displaystyle x=\frac12$ である。このとき $\displaystyle BD^2=\frac74$ なので、正弦定理から $BD=2r\sin120^\circ$、したがって $\displaystyle r=\frac{\sqrt7/2}{\sqrt3}=\frac{\sqrt{21}}6$ となる。

(2) 赤玉5個・白玉2個を選ぶ場合の数は $\displaystyle \binom{n-3}{5}\binom32$、全体は $\displaystyle \binom n7$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} P_n&=\frac{\binom{n-3}{5}\binom32}{\binom n7}=\frac{126(n-7)}{n(n-1)(n-2)}\qquad(n\ge8). \end{aligned}$$ 隣り合う項の比は $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{(n-6)(n-2)}{(n+1)(n-7)} \end{aligned}$$ であり、分子と分母の差は $(n-6)(n-2)-(n+1)(n-7)=19-2n$ である。従って $n=8,9$ では比が1より大きく、$n\ge10$ では1より小さい。よって最大値をとるのは $n=10$ である。

(3) 行列を直接掛けると $$AP=\begin{pmatrix}a+by&ax+2b\\ b+ay&bx+2a\end{pmatrix},\qquad P\begin{pmatrix}a-b&0\\0&a+b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-b&x(a+b)\\y(a-b)&2(a+b)\end{pmatrix}.$$ 左上成分と右下成分を比較し、$b\ne0$ を用いると $y=-1,\ x=2$ である。残りの成分もこの値で一致するので $P=\begin{pmatrix}1&2\\-1&2\end{pmatrix}$ となる。

ここで $t=a-b,\ u=a+b,\ D=\operatorname{diag}(t,u)$ とする。$AP=PD$ から、繰り返し掛けることにより $A^kP=PD^k\ (k=1,2,3,4)$ が従う。従って $R=A^4-6A^3+9A^2$ とおけば $$RP=P\operatorname{diag}\bigl(t^2(t-3)^2,u^2(u-3)^2\bigr).$$ 一方、 $$RP=\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&32\\-4&32\end{pmatrix}.$$ 両辺を比較して $t^2(t-3)^2=4,\ u^2(u-3)^2=16$ を得る。$t(t-3)=\pm2$ より整数 $t$ は $1,2$、$u(u-3)=\pm4$ より整数 $u$ は $-1,4$ である。$a=(t+u)/2,\ b=(u-t)/2$ が整数になる組合せは $(t,u)=(1,-1),(2,4)$ に限られ、それぞれ $(a,b)=(0,-1),(3,1)$ となる。いずれも $b\ne0$ を満たし、対応する $t,u$ で多項式値は $(4,16)$ だから元の行列等式を満たす。