3東京慈恵会医科大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1) $z_n=x_n+iy_n$ とおく。原点中心の角 $\theta$ の回転と、その後の中点を取る操作は複素数に $$\displaystyle q=\frac12(\cos\theta+i\sin\theta)$$ を掛けることだから、$z_{n+1}=qz_n$ である。従ってド・モアブルの定理より $$\begin{aligned} z_n&=q^nz_0=2^{-n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)(x_0+iy_0)\\ &=2^{-n}\{(x_0\cos n\theta-y_0\sin n\theta)+i(x_0\sin n\theta+y_0\cos n\theta)\}. \end{aligned}$$ 実部と虚部を比べれば $x_n,y_n$ の式を得る。

(2) $R=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$ とする。$d_n=|P_nP_{n+1}|$ とおくと、$|OP_n|=2^{-n}R$ であり、$\angle P_nOP_{n+1}=\theta$ だから余弦定理により $$\displaystyle \begin{aligned} d_n^2&=(2^{-n}R)^2+(2^{-n-1}R)^2-2(2^{-n}R)(2^{-n-1}R)\cos\theta\\ &=\frac{R^2}{4^n}\left(\frac54-\cos\theta\right)=\frac{R^2(5-4\cos\theta)}{4^{n+1}}. \end{aligned}$$ また $\overrightarrow{P_{n+1}P_{n+2}}$ は $\overrightarrow{P_nP_{n+1}}$ を長さ $\displaystyle \frac12$ に縮小して角 $\theta$ 回転したものなので、三角形 $P_nP_{n+1}P_{n+2}$ の $P_{n+1}$ における角は $\pi-\theta$ である。三角形の面積公式から $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\frac12d_n\frac{d_n}{2}\sin(\pi-\theta)=\frac{R^2(5-4\cos\theta)\sin\theta}{16\cdot4^n}. \end{aligned}$$ よって公比 $\displaystyle \frac14$ の無限等比級数を計算して $$\displaystyle \sum\limits _{n=0}^{\infty}S_n=\frac{R^2(5-4\cos\theta)\sin\theta}{16}\cdot\frac1{1-\frac14}=\frac{(x_0^2+y_0^2)(5-4\cos\theta)\sin\theta}{12}.$$

(3) $\overrightarrow{P_0P_1}\ne\vec0$ である。実際、$|OP_1|=|OP_0|/2$ かつ $P_0\ne O$ だから $P_1\ne P_0$ である。$\overrightarrow{P_nP_{n+1}}$ は $\overrightarrow{P_0P_1}$ を $2^{-n}$ 倍に縮小し、さらに角 $n\theta$ 回転したベクトルである。したがって両ベクトルが平行であることは、回転角 $n\theta$ が $\pi$ の整数倍であること、すなわちある整数 $k$ について $n\theta=k\pi$ となることと同値である。このような正整数 $n$ が存在すれば $\theta/\pi=k/n$ は有理数である。逆に $\theta/\pi=p/q\ (p,q\text{ は正整数})$ と表せるとき、$n=q$ とおけば $n\theta=p\pi$ となり、二つのベクトルは平行である。従って必要十分条件が示された。