2福井大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$z=1+\sqrt3 i$ の絶対値は $2$、偏角は $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ である。従って $$\displaystyle z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right),\qquad a_n=2^n\cos\frac{n\pi}{3},\quad b_n=2^n\sin\frac{n\pi}{3}.$$

(1) 三角関数の相互関係より $$\displaystyle a_n^2+b_n^2=4^n\left(\cos^2\frac{n\pi}{3}+\sin^2\frac{n\pi}{3}\right)=4^n.$$

(2) $n$ を6で割った余りが0または3のとき、$\displaystyle \sin\frac{n\pi}{3}=0$ で、余弦は $1$ または $-1$ だから $a_n,b_n$ は整数である。余りが1,2,4,5のとき、正弦または余弦の一方に $\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}$ または $\displaystyle -\frac{\sqrt3}{2}$ が現れ、その成分は $\pm\sqrt3\,2^{n-1}$ となって整数ではない。よって $$n\equiv0,3\pmod6,$$ すなわち $n$ は3の正の倍数である。

(3) $Q=(\sqrt3,5)$, $R=(-\sqrt3,11)$ だから、直線 $\ell$ の傾きは $$\displaystyle \frac{11-5}{-\sqrt3-\sqrt3}=-\sqrt3.$$ 従って $\ell$ の方程式は $y=-\sqrt3 x+8$、すなわち $\sqrt3 x+y-8=0$ である。点 $P(z^n)=(a_n,b_n)$ からこの直線までの距離は $$\displaystyle d_n=\frac{|\sqrt3a_n+b_n-8|}{2}.$$ $n$ を6で割った余りにより、$\sqrt3a_n+b_n$ は次のようになる。 $$\begin{array}{c|rrrrrr} n\bmod6&0&1&2&3&4&5\\\hline \sqrt3a_n+b_n&\sqrt3\,2^n&\sqrt3\,2^n&0&-\sqrt3\,2^n&-\sqrt3\,2^n&0 \end{array}$$ $n=1$ では $\displaystyle d_1=\frac{8-2\sqrt3}{2}=4-\sqrt3$。余り2または5なら $d_n=4$、余り3または4なら $\displaystyle d_n=4+\frac{\sqrt3}{2}2^n>4$。余り0または1で $n\ge2$ となる最初は $n=6$ であり、そのとき $\sqrt3\,2^n>8$、以後その値はさらに大きくなるので $d_n>4$ である。従って最小値は $$\boxed{4-\sqrt3}$$ で、これは $n=1$ のときに限る。