1福井大学 2024年 数学 第1問解答・解説

大問1

(1)

全体から $n$ 個を選ぶ方法は $\displaystyle \binom{2n}{n}$ 通りである。赤玉 $n$ 個から $k$ 個、白玉 $n$ 個から $n-k$ 個を選ぶ場合は $$\displaystyle \binom nk\binom n{n-k}=\binom nk^2$$ 通りである。従って求める確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{\binom nk^2}{\binom{2n}{n}}}.$$

(2)

赤玉 $n$ 個と白玉 $n$ 個を区別して並べた $2n$ 個から $n$ 個を選ぶ。選んだ赤玉の個数が $k$ であれば、赤玉の選び方が $\displaystyle \binom nk$ 通り、白玉の選び方は $\displaystyle \binom n{n-k}=\binom nk$ 通りで、合計 $\displaystyle \binom nk^2$ 通りである。赤玉の個数 $k$ は $0,1,\ldots,n$ のいずれかなので、場合を重複なく分けて全て足すと、同じ選び方の総数 $\displaystyle \binom{2n}{n}$ が得られる。よって $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{k=0}^{n}\binom nk^2=\binom{2n}{n}}.$$

(3)

階乗を使って $$\displaystyle \binom{2n}{n}=\frac{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}{1\cdot2\cdots n}$$ と書く。区間 $n+1,n+2,\ldots,2n$ には $p$ 自身が含まれる。$p>n$ であり $2p>2n$ だから、この区間にある $p$ の倍数は $p$ だけである。また $p>n$ より $p^2>2n$（$n=1$ の場合も成り立つ）なので、その因子に $p$ が重ねて含まれることもない。分母 $n!$ には $p$ の倍数はない。従ってこの二項係数には素因数 $p$ がちょうど1個含まれ、 $$\displaystyle \boxed{p\mid\binom{2n}{n},\qquad p^2\nmid\binom{2n}{n}}.$$