3福島県立医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) 係数は$\displaystyle 3k+4\binom{k}{2}=k(2k+1)$である。　 $k$の3で割った余りを調べると必要十分条件は$k\equiv0,1\pmod3$。

(2) 次数4を作る分け方は$4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1$なので、係数$C$は $$\displaystyle \begin{aligned} C&=5k+8k(k-1)+9\binom{k}{2}\\ &\quad+12k\binom{k-1}{2}+16\binom{k}{4}\\ &=5k+\frac{k(k-1)(4k^2+16k+27)}6. \end{aligned}$$ 6と5は互いに素である。　 $k$の5で割った余り$t=0,1,2,3,4$に対し$4t^2+t+2$の余りは$2,2,0,1,0$。　 よって$5\mid C$の必要十分条件は$k\not\equiv3\pmod5$。

(3) 対象の係数は$\displaystyle k/3+\binom{k}{2}/4$。　 $k=1,2,3$で$1/3,11/12,7/4$だから、$a(3,1)=3,a(3,2)=12,a(3,3)=4$。

(4) 次数$p-1$を1つの因子から選ぶ項の寄与は$k/p$。　 残る項の分母は1から$p-1$までの積なので、素数$p$では割れない。　 残りの和を$r/s$（$p\nmid s$）とおけば $$\displaystyle C=\frac{k}{p}+\frac rs=\frac{ks+pr}{ps}.$$ 約分後の分母に$p$が残るのは$p\nmid(ks+pr)$の場合だけであり、$p\nmid s$からこれは$p\nmid k$と同値。　 従って求める条件は$p\nmid k$。